黒沼 電蔵
物理の教鞭をとっている
すぐ投げ出す
波多野さん
勉強が苦手な女の子
諦めが悪い
光井くん
勉強が得意な男の子
勤勉な方
はじめに
前回はボールをそっと手から離したよね？
うむ。初速度が0の自由落下じゃな。
じゃあ、最初から下向きに投げたらどうなるの？
反対に、上向きに投げたら？
よい質問じゃ。物体を鉛直方向へ投げる運動には、
・下向きに投げる鉛直投げ下ろし
・上向きに投げる鉛直投げ上げ
がある。
今回はこの2つの運動を見てみよう。
鉛直投げ下ろしとは
まずは、鉛直投げ下ろしからじゃ。
鉛直投げ下ろしとは、物体を鉛直下向きに初速度を与えて投げる運動のことじゃ。
物体をそっと手から離して落としていた自由落下とは違う運動なんですね。
うむ。自由落下は「静かに手を離す」。
投げ下ろしは「下向きに勢いをつける」ってことじゃ。
投げ下ろしも等加速度運動
鉛直投げ下ろしでも、空気抵抗を無視すれば、物体には一定の重力加速度がはたらく。つまり、自由落下と同じく、重力による等加速度運動じゃ。
つまり、初速度を (v_0) とすると、速度は、
\(\boxed{v=v_0+gt}\)
落下距離は、
\(\boxed{x=v_0t+\frac12gt^2}\)
で表される。
自由落下の式に、初速度 \(v_0\) の部分が加わっただけですね。
その通りじゃ。
それ以外の考え方は同じなんじゃ。
よかったぁ。
投げ下ろしの公式を新しく覚える必要ないんだ。
鉛直投げ上げとは
投げ下ろしは、自由落下の最初に勢いをつけた運動なんだね。
じゃあ、上向きに投げたらどうなるの？
ここからが今回の中心じゃ。
物体を真上に投げる運動を、鉛直投げ上げという。
アニメーションを使って、位置・速度・加速度の変化を同時に確認してみよう。
まずはボールを上向きに投げてみよう
アニメーションの初速度を、\(v_0=20\ \mathrm{m/s}\)にして、「投げる！」を押してみよう。
このアニメーションでは上向きを正としているから、上向きの速度は正、下向きの速度は負になってますね。
ボールの動きはどうなっているかな？
上に飛んでいって……。一番高いところで止まって、落ちてきた！
では、もう一度動かしてみよう。今度はボールだけでなく、画面に表示される次の3つにも注目するのじゃ。
- 位置
- 速度
- 加速度
上昇中の速度を見てみよう
上に進むほど、速度の数字が小さくなってる。
ボールが上向きに動いている間も、重力は下向きにはたらいている。
そのため、上向きの速度は少しずつ小さくなるんじゃ。
今回は上向きを正としているので、上昇中の速度は上向きなのでプラスで表示されるんですね。一方で、重力加速度は下向きなので、\(a=-9.8\ \mathrm{m/s^2}\)となってますね。
だから、上向きの初速度を\ (v_0\) とすると、時間 \(t\) 後の速度は、
\(\boxed{v=v_0-gt}\)
で表されるのじゃ。
投げ下ろしではプラスだったのに、今度はマイナスなんだね。
上昇中の位置をみてみよう
投げた場所を (y=0) とすると、時間 (t) 後の位置は、
\(\boxed{y=v_0t-\frac12gt^2}\)
で表される。
最初の、\(v_0t\)は、初速度によって上向きに進もうとする部分。
後ろの、\(-\frac12gt^2\)は、重力によって位置が下向きに変化する部分じゃ。
上へ進もうとする動きから、重力による下向きの変化を引いているんですね。
最高点では速度が0になる
波多野さんは先ほどいい発言をしていたね。
…先生にぞっこんラブだって。照れちゃうなぁ。
えぇ！
そんなこといってないでしょ。
確か、「一番高いところで止まって、落ちてきた！」ですよ。
そうじゃったけ？
まぁ、それならアニメーションを最高点の近くで一時停止してみよう。速度はいくつになっているかな？
\(v=0\)になってる！
でも、速度が0なら、そのまま空中に止まっちゃわないの？
最高点では、速度は０になるが加速度は０ではない。重力は消えずに下向きにはたらき続けているんじゃ。そのため、最高点を過ぎると速度が下向きに変わり、ボールは落下を始めるんじゃ。
最高点は、止まり続ける場所ではなく、上昇から下降へ切り替わる一瞬ということですね。
うむ。今回はよい説明じゃ。
今回は？
最高点に到達する時刻
では、投げてから何秒後に最高点へ到達するのか考えてみよう。
最高点では速度が0だから、速度の式、
\(v=v_0-gt\)
の\ (v\) に0を入れると、
\(0=v_0-gt\)
となる。
これを \(t\) について解くと、
\(\boxed{t=\frac{v_0}{g}}\)
じゃ。
初速度が20 m/sなら、
\(t=\frac{20}{9.8}\)
だから、約2.04秒後に最高点へ着くんだね。
アニメーションの最高点表示と同じだね。
最高点の高さ
最高点の高さもこれまでの式を組み合わせて求められるのじゃ。
投げた場所を (y=0) とすると時間 (t) 後の位置は、
\(y=v_0t-\frac12gt^2\)
じゃった。これに、最高点に到達する時刻
\(t=\frac{v_0}{g}\)
を代入してみよう。すると、最高点の高さ\(y_{\mathrm{max}}\)は,
\(\boxed{y_{\mathrm{max}}=\frac{v_0^2}{2g}}\)
で求められるのじゃ。
初速度が20 m/sなら、
\(y_{\mathrm{max}}=\frac{20^2}{2\times9.8}\)
なので、約20.4 mだね。
これも、アニメーションに表示されている最高点と同じだ！
この式では初速度が2乗になっているところが重要じゃ。
初速度を2倍にすると、最高点の高さは4倍になる。
初速度を少し大きくするだけでも、高さはかなり変わるんですね。
初速度を変えて確かめよう
アニメーションのスライダーを使い、初速度を変えてみよう。
どうなったかな？
初速度を大きくすると、最高点が高くなった！
最高点に着くまでの時間も長くなってる。
初速度が大きいほど、速度が0になるまでに時間がかかる。
そのため、より長い時間上昇し、より高いところまで到達することになるんじゃよ。
3つのグラフを見比べよう
y-tグラフ
位置のグラフは、山のような曲線になってる。
上昇中は位置が高くなり、最高点で最大になる。その後は下降するため、位置が低くなっていく。
グラフの頂点が、実際の運動の最高点に対応しているんじゃ。
v-tグラフ
速度のグラフは、右下がりの直線だね。
速度は、\(v=v_0-gt\)に従って、一定の割合で小さくなる。グラフが0より上なら上昇中、0と交わるところが最高点、0より下なら下降中じゃ。
a-tグラフ
加速度のグラフは、ずっと横一直線になってる。
空気抵抗を無視すると、重力加速度は運動中ずっと一定じゃ。
上昇中でも、最高点でも、下降中でも、\(a=-9.8\ \mathrm{m/s^2}\)のままなんじゃ。
最高点では位置が最大、速度が0。でも、加速度の変化はないんですね。
元の高さに戻ったとき
ボールが投げた場所まで戻ってきたときの速度はどうなるの？
いい質問じゃ。空気抵抗を無視すると、元の高さへ戻ったときの速さは、投げたときと同じになるのじゃ。ただし、向きは反対になる。
例えば、20 m/sで上向きに投げたなら、戻ってきたときの速度は、\(v=-20\ \mathrm{m/s}\)となるのじゃ。
下向きだから速度はマイナスになるんだね。
自由落下・投げ上げ・投げ下ろし
最後に、3つの運動を整理しよう。
自由落下
物体をそっと手から離す運動。初速度は0。
鉛直投げ下ろし
物体に下向きの初速度を与える運動。
鉛直投げ上げ
物体に上向きの初速度を与える運動。最初は上昇するが、やがて最高点へ達し、その後は下降する。
どれも重力による等加速度運動なんだね。
その通りじゃ。
初速度と重力加速度の向きを考えて、等加速度運動の式を使うことが大切なんじゃよ。
今日のまとめ
今日の重要な式を整理しておこう。
鉛直投げ下ろし
\(\boxed{v=v_0+gt}\)
\(\boxed{x=v_0t+\frac12gt^2}\)
鉛直投げ上げ
\(\boxed{v=v_0-gt}\)
\(\boxed{y=v_0t-\frac12gt^2}\)
最高点に達する時刻と高さ
\(\boxed{t=\frac{v_0}{g}}\)
\(\boxed{y_{\mathrm{max}}=\frac{v_0^2}{2g}}\)
投げ上げの最高点では、\(\boxed{v=0}\)でしたが、\(\boxed{a=-g}\)のままでしたね。
最高点では速度は0だが、加速度は0ではないだね。
次回 水平投射
次回はボールを横向きに投げた場合を勉強してみようかの。
ほれっ！
うあ、急にボールを投げないでください。
まだまだ、若い者には負けんぞ！
剛速球をくらえ！！ほりゃ！！
やめてくださいよ。大して早くないですし…。
ほれ、ほれ。
………あ。
ぎゃあぁぁぁぁ。肩がぁぁぁぁぁぁぁぁぁ。
あーあ。しょうがないなぁ。病院行きますよ。
うん。ありがとう……。