黒沼 電蔵
物理の教鞭をとっている
夜、どうしようもなくさみしい
波多野さん
勉強が苦手な女の子
寝る前にスマホをいじりがち
光井くん
勉強が得意な男の子
早寝早起き
はじめに
今、持っている２つのボールに注目したまえ。
同じ大きさのボールだね。
片方は、そのまま落とす。
もう片方は、同じ高さから横向きに投げる。
さて、どちらが先に地面へ着くと思う？
横向きに投げたボールのほうが、長い距離を進むよね？
だったら、普通に落としたボールのほうが先に着くんじゃない？
空気抵抗を無視するなら、同時に地面へ着くと思います。
えっ！？横に投げたボールは遠回りしてるのに？そんなわけないじゃん。
うむ。今回のテーマである「水平投射」をしっかり理解すれば、おのずと答えがわかるぞ。
レッツ、フィジックス！（Let’s Physics！）
なんですか、それ。
水平投射とは
水平投射とは、高い場所から物体を水平方向へ投げ出す運動のことじゃ。
横向きに投げたら、途中から落ちていくよね。
うむ。
水平投射では、1つの運動を次の2つに分けて考えることが重要なのじゃ。
・水平方向の運動
・鉛直方向の運動
横方向と縦方向を別々に考えるわけですね。
水平投射を見てみよう
まずは、アニメーションで動きを見てみよう。
水平初速度\(v_0\)を「15 m/s」、投射高さ\(H\)を「30 m」にして、「投げる！」を押してみるのじゃ。
ボールの軌跡が曲線になってるね。
では、表示されている次の量にも注目してみよう。
- 水平位置 \(x\)
- 高さ \(y\)
- 水平速度 \(v_x\)
- 鉛直速度 \(v_y\)
特に、水平速度と鉛直速度がどう変化するかを比べるのじゃ。
水平方向は等速運動
水平速度 \(v_x\) は、ずっと同じ数字になってる。
空気抵抗を無視すると、ボールには水平方向の力がはたらかない。そのため、水平方向の加速度は、\(a_x=0\)じゃ。
速度は\(v_0\) のままですので、時間 (t) 後の水平位置は、
\(\boxed{x=v_0t}\)
で表されますね。
水平速度が一定だから、横方向だけを見れば等速直線運動なんだね。
その通りじゃ。
影の動きに注目してみるとわかりやすいかもしれんな。
鉛直方向は自由落下
次は、鉛直方向を見てみよう。今回は上向きを正としているので、重力加速度は、\(a_y=-g\)じゃ。
では、初速度はいくつになるかの？
う～ん。横方法に投げてるから、0かな。
エクセレント！！
鉛直方向の運動は、自由落下と同じになるのじゃ。
だから、投げた場所の高さを (H) とすると、時間 (t) 後の高さは、
\(\boxed{y=H-\frac12gt^2}\)
じゃ。
鉛直速度は、
\(\boxed{v_y=-gt}\)
となる。
第8回で学んだ式そのままですね。
は～？
向きが違うんですけどぉ～？
いい加減なこと言わないでくれますぅ～？
うわ～。嫌な言い方。
そうでした、今回は下向きを負にしていることに注意ですね…。
横へ投げても落下時間は変わらない？
ここで、アニメーションの水平初速度を変えてみよう。投射高さは30 mのままにして、次の3つを比較するのじゃ。
- 5 m/s
- 15 m/s
- 25 m/s
速く投げるほど、遠くまで飛んでる！
でも……。
地面に着くまでの時間は同じ？
その通りじゃ。落下時間を決めるのは、鉛直方向の運動じゃ。
地面へ着いたときは高さが0なので、
\(0=H-\frac12gt^2\)
となる。
これを \(t\) について解くと、落下時間は、
\(\boxed{t=\sqrt{\frac{2H}{g}}}\)
じゃ。
この式には水平初速度 \(v_0\) が入っていませんね。
だから、水平初速度を変えても落下時間は変わらないんですね。
じゃあ、そのまま落としても、横向きに投げても同時に地面につくんだね。
その通りじゃ。
ちなみに、水平到達距離を (L) とすると、
\(\boxed{L=v_0\sqrt{\frac{2H}{g}}}\)
になるぞ。
水平方向の移動距離の式 \(L=v_0t\) と落下時間の式 \(t=\sqrt{\frac{2H}{g}}\) を組み合わせたんですね。
水平初速度 \(v_0\) が入っているから、速く投げるほど水平方向は遠くまで進むってことだ！
投射する高さを変えてみよう
次は水平初速度を15 m/sに戻し、投射高さを変えてみよう。
- 10 m
- 30 m
- 50 m
で比較するのじゃ。
高い場所から投げるほど、地面に着くまでの時間が長くなった。
うむ。
高さが大きくなると、落下に必要な時間が長くなる。
水平速度は一定なので、空中にいる時間が長いほど、横へ進む距離も大きくなるんじゃ。
4つのグラフを見比べよう
\(x-t\)グラフ
水平位置のグラフは、右上がりの直線だね。
うむ。
水平方向は等速直線運動をしておるからの。時間に比例して位置が伸びるのじゃ。
グラフの傾きは水平速度\(v_0\)を表していますね。
\(y-t\)グラフ
高さのグラフは曲線になってるね。
鉛直方向は重力加速度\(-g\)による自由落下じゃ。時間がたつほど落下速度が大きくなり、落下する距離も伸びるのじゃ。
\(v_x-t\)グラフ
水平速度のグラフは、横一直線！
水平方向では加速度がないので、速度は\(v_0\)のままじゃ。
\(v_y-t\)グラフ
鉛直速度は、どんどんマイナス方向へ大きくなってる。
鉛直速度は、\(v_y=-gt\)に従って、一定の割合で変化するんじゃ。
今回は上向きを正にしているため、下向きの速度はマイナスになっている点に注意ですね。
なぜ軌道は曲線になるの？
横方向はまっすぐ進んで、縦方向はまっすぐ落ちる。
なのに、どうしてボールの軌道は曲線になるの？
ほう。いい質問じゃ。
えへへ。
…かわいい。
……横方向の等速運動と、鉛直方向の自由落下を合成した結果ですよね。
同じ時間ごとに見ると、水平方向には同じ距離ずつ進む。
一方、鉛直方向では、重力によって落下する距離がだんだん大きくなる。
この二つを組み合わせると、ボールの軌道は放物線になります。
……終わった？
いやいや。
見とれてないで、ちゃんと教えてくださいよ。
今日のまとめ
今日のポイントを整理しておこう。
水平投射は、一つの運動を水平方向と鉛直方向に分けて考えることが重要じゃ。
・水平方向は等速運動
速度は
\(\boxed{v_x=v_0}\)
移動距離は
\(\boxed{x=v_0t}\)
・鉛直方向は自由落下
速度は
\(\boxed{v_y=-gt}\)
移動距離は
\(\boxed{y=H-\frac12gt^2}\)
鉛直方向の落下時間と水平方向の到達距離には関係がありましたね。
・落下時間
\(\boxed{t=\sqrt{\frac{2H}{g}}}\)
・水平到達距離
\(\boxed{L=v_0\sqrt{\frac{2H}{g}}}\)
高さが同じなら、横へ投げる速さを変えても落下時間は変わらないよ。
次回 斜方投射
ボールを投げた時って、どうしても山なり進んでいっちゃうんだけど…。
今回の運動とは違うの？
心配無用じゃ。ちょうど次回その話をしようとしていたのじゃよ。
グッド、タイミング！（Good Timing！）
斜方投射ですね。
では、次回をお楽しみに！
レッツ、フィジックス！（Let’s Physics！）
レッツ、フィジックス！（Let’s Physics！）
流行ってんのかな？